六年级 · 竞赛综合冲刺
分数百分数应用题 提高
单位"1"的确定：在分数应用题中，"的"字前面的量通常为单位"1"。例如"甲是乙的3/4"，乙为单位"1"。
量率对应：具体的数量对应具体的分率。已知单位"1"求部分量用乘法；已知部分量求单位"1"用除法。
利润问题：利润 = 售价 - 成本；利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100%；售价 = 成本 ×（1 + 利润率）。
折扣问题：实际售价 = 原价 × 折扣率。打八折即乘以80%。
解题关键：找准单位"1"，确定量率对应关系，注意单位"1"在不同语境下可能不同。
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分析：设成本为单位"1"，逐步表示定价和实际售价。
解题过程：
第一步：设成本为x元。
第二步：定价 = x ×（1+40%）= 1.4x。
第三步：打八折后实际售价 = 1.4x × 80% = 1.12x。
第四步：利润 = 实际售价 - 成本 = 1.12x - x = 0.12x。
第五步：由题意 0.12x = 12，解得 x = 100。
验证：成本100元，定价140元，打八折售价112元，利润12元 ✓。
答：这件商品的成本是100元。
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分析：统一单位"1"，将甲、乙都用丙来表示。
解题过程：
第一步：设丙数为x。
第二步：乙数 = x × 4/5 = 4x/5。
第三步：甲数 = 乙数 × 3/4 = (4x/5) × (3/4) = 3x/5。
第四步：甲比丙少24：x - 3x/5 = 24，即 2x/5 = 24，x = 60。
第五步：丙 = 60，乙 = 60 × 4/5 = 48，甲 = 48 × 3/4 = 36。
验证：60 - 36 = 24 ✓，36/48 = 3/4 ✓，48/60 = 4/5 ✓。
答：甲数为36，乙数为48，丙数为60。
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比和比例 提高
比的意义：两个数相除又叫两个数的比。a:b = a÷b，比值 = 前项÷后项。
正比例：y/x = k（一定），即y = kx，两个量的比值不变。
反比例：x×y = k（一定），即y = k/x，两个量的乘积不变。
按比例分配：总量按a:b:c分配，各部分分别为总量的 a/(a+b+c)、b/(a+b+c)、c/(a+b+c)。
比例尺：比例尺 = 图上距离 : 实际距离。注意单位统一。
比例的性质：若a:b = c:d，则ad = bc（交叉相乘）。
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解题过程：
第一步：甲做了 600 × 1/3 = 200（个）。
第二步：乙和丙共做了 600 - 200 = 400（个）。
第三步：乙和丙按3:2分配。乙做了 400 × 3/(3+2) = 400 × 3/5 = 240（个）。
第四步：丙做了 400 × 2/(3+2) = 400 × 2/5 = 160（个）。
验证：200+240+160=600 ✓，240:160=3:2 ✓。
答：乙做了240个，丙做了160个。
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解题过程：
第一步：实际距离 = 图上距离 × 比例尺分母 = 4.8 × 5000000 = 24000000（厘米）。
第二步：换算单位：24000000厘米 = 240000米 = 240千米。
第三步：时间 = 路程 ÷ 速度 = 240 ÷ 80 = 3（小时）。
答：汽车需要3小时到达。
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圆与扇形 提高
圆的基本公式：周长 C = 2πr = πd；面积 S = πr²。
扇形面积：S = (n/360) × πr²（n为圆心角度数）。
弧长：l = (n/360) × 2πr。
组合图形：求阴影面积常用方法：① 大面积减小面积；② 割补法（将不规则部分平移拼成规则图形）；③ 对称法。
常见模型：半圆中的三角形、正方形内切圆、两圆相交的公共部分、弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积。
本专题中π取3.14。
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分析：用正方形面积减去内切圆面积即可。
解题过程：
第一步：正方形面积 = 8×8 = 64（平方厘米）。
第二步：内切圆的直径等于正方形边长，所以半径 r = 8÷2 = 4（厘米）。
第三步：圆的面积 = π×r² = 3.14×4² = 3.14×16 = 50.24（平方厘米）。
第四步：四个角的面积 = 正方形面积 - 圆面积 = 64 - 50.24 = 13.76（平方厘米）。
答：正方形内、圆外部分的面积为13.76平方厘米。
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解题过程：
第一步：扇形面积 = (n/360) × πr² = (120/360) × 3.14 × 6² = (1/3) × 3.14 × 36 = 37.68（平方厘米）。
第二步：弧长 = (n/360) × 2πr = (120/360) × 2 × 3.14 × 6 = (1/3) × 37.68 = 12.56（厘米）。
答：扇形面积为37.68平方厘米，弧长为12.56厘米。
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数论进阶（余数与同余） 竞赛
带余除法：被除数 = 除数 × 商 + 余数（0 ≤ 余数 < 除数）。
同余的定义：若a和b除以m的余数相同，则称a与b对模m同余，记作 a ≡ b (mod m)。
同余的性质：
① 若 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则 a+c ≡ b+d (mod m)，a×c ≡ b×d (mod m)。
② 若 a ≡ b (mod m)，则 a-b 能被m整除。
中国剩余定理（初步）：求一个数，使它除以几个互质的数分别得到指定余数。方法：逐一列举或用"逐步满足法"。
余数的周期性：幂的余数有周期规律，如2^n mod 5的余数按2,4,3,1循环（周期4）。
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分析：这是中国剩余定理的经典问题（"物不知数"问题）。
解题过程（逐步满足法）：
第一步：先满足"除以3余2，除以7余2"。因为余数相同（都是2），所以这个数减2后能同时被3和7整除，即被21整除。设 N = 21k + 2。
第二步：再满足"除以5余3"。21k + 2 ≡ 3 (mod 5)，即 21k ≡ 1 (mod 5)。因为21 ≡ 1 (mod 5)，所以 k ≡ 1 (mod 5)，即 k = 5t + 1。
第三步：N = 21(5t+1) + 2 = 105t + 23。
第四步：最小正整数为 t=0 时，N = 23。
验证：23÷3=7余2 ✓，23÷5=4余3 ✓，23÷7=3余2 ✓。
答：满足条件的最小正整数是23。
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分析：找2的幂除以7的余数规律（周期性）。
解题过程：
第一步：列举2的幂除以7的余数：
2¹=2，余2；2²=4，余4；2³=8，余1；2⁴=16，余2；2⁵=32，余4；2⁶=64，余1...
第二步：发现余数按 2, 4, 1 循环，周期为3。
第三步：20 ÷ 3 = 6 余 2。所以 2^20 的余数与 2² 的余数相同。
第四步：2² 除以7余4。
答：2^20 除以7的余数是4。
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行程问题（流水与环形） 竞赛
流水行船：
顺水速度 = 船速 + 水速；逆水速度 = 船速 - 水速。
船速 = (顺水速度 + 逆水速度) ÷ 2；水速 = (顺水速度 - 逆水速度) ÷ 2。
环形跑道追及：
同向追及：追及时间 = 跑道周长 ÷ 速度差（追上一圈）。
相向相遇：相遇时间 = 跑道周长 ÷ 速度和。
变速问题：分段计算各段路程和时间，总路程 = 各段之和，总时间 = 各段之和。
多次相遇（环形）：第n次相遇时，两人共走了n个周长（相向）；第n次追上时，快者比慢者多走了n个周长（同向）。
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解题过程：
第一步：顺水速度 = 120 ÷ 4 = 30（千米/时）。
第二步：逆水速度 = 120 ÷ 6 = 20（千米/时）。
第三步：船速（静水速度）= (30+20) ÷ 2 = 25（千米/时）。
第四步：水速 = (30-20) ÷ 2 = 5（千米/时）。
验证：顺水 25+5=30 ✓，逆水 25-5=20 ✓。
答：船在静水中速度为25千米/时，水流速度为5千米/时。
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分析：相向而行，每次相遇两人共跑一个周长。
解题过程：
第一步：速度和 = 6+4 = 10（米/秒）。
第二步：每次相遇时间 = 400 ÷ 10 = 40（秒）。
第三步：第3次相遇时，总时间 = 40×3 = 120（秒）。
第四步：甲跑的距离 = 6×120 = 720（米）。
验证：乙跑了4×120=480米，720+480=1200=3×400 ✓（共走了3个周长）。
答：第3次相遇时甲跑了720米。
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容斥原理（三集合） 竞赛
两集合容斥：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。
三集合容斥公式：
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|
文氏图法：画三个相交的圆，从最内层（三者交集）开始向外填写各区域人数。
解题步骤：① 确定各集合及交集的大小；② 代入容斥公式；③ 或用文氏图逐区域计算。
注意："至少参加一项"= 并集；"恰好参加两项"= 两两交集之和 - 3×三项交集；"只参加一项"= 各项 - 2×两两交集 + 3×三项交集。
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解题过程：
第一步：用三集合容斥公式求至少参加一项的人数。
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|
= 32 + 25 + 20 - 12 - 10 - 8 + 3
= 77 - 30 + 3
= 50（人）
第二步：三个小组都没有参加的人数 = 全班人数 - 至少参加一项的人数 = 55 - 50 = 5（人）。
答：三个小组都没有参加的有5人。
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分析："恰好喜欢两种"= 两两交集中去掉三者交集的部分之和。
解题过程：
第一步：恰好喜欢足球和篮球（不含乒乓）= 25 - 10 = 15（人）。
第二步：恰好喜欢足球和乒乓（不含篮球）= 20 - 10 = 10（人）。
第三步：恰好喜欢篮球和乒乓（不含足球）= 15 - 10 = 5（人）。
第四步：恰好喜欢两种的总人数 = 15 + 10 + 5 = 30（人）。
答：恰好只喜欢两种球类的有30人。
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抽屉原理 竞赛
抽屉原理（鸽巢原理）：把n+1个物体放入n个抽屉中，至少有一个抽屉里有2个或以上的物体。
推广形式：把m个物体放入n个抽屉中，至少有一个抽屉里有 ⌈m/n⌉ 个物体（⌈⌉表示向上取整）。即：至少数 = (m-1)÷n + 1（取整）。
解题步骤：① 确定什么是"物体"，什么是"抽屉"；② 计算物体数÷抽屉数；③ 得出至少数。
构造抽屉：有时需要巧妙设计抽屉。例如：从1~10中选数，构造和为11的数对{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6}作为5个抽屉。
最不利原则：考虑"最倒霉"的情况，即尽量让每个抽屉里的物体数都差一个才达标，此时再加1个就必然满足条件。
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分析：构造抽屉，使同一抽屉中的两个数之差为5。
解题过程：
第一步：将1~20按差为5配对分组（构造抽屉）：
{1,6,11,16}、{2,7,12,17}、{3,8,13,18}、{4,9,14,19}、{5,10,15,20}。
共5个抽屉，每个抽屉中相邻两数差为5。
第二步：要保证取出的数中必有两个差为5，即同一抽屉中取了相邻的两个。
第三步：最不利情况——每个抽屉中尽量多取但不取相邻的。每个抽屉{a, a+5, a+10, a+15}中最多取2个不相邻的（如取第1、3个或第2、4个）。
第四步：最不利情况共取 5×2 = 10个数，再多取1个就必然与某个已取的数差为5。
第五步：至少取 10+1 = 11个数。
答：至少取出11个数。
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分析：用抽屉原理，颜色为抽屉（4个），球为物体。
解题过程：
第一步：4种颜色 = 4个抽屉。
第二步：要保证至少一个抽屉有3个球。
第三步：最不利情况——每个颜色都恰好取了2个，共取 4×2 = 8个球，此时没有任何颜色达到3个。
第四步：再多取1个球（第9个），无论什么颜色，都会使某种颜色达到3个。
第五步：至少取 8+1 = 9个球。
答：至少取出9个球。
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最值问题 竞赛
极端原理：求最大值时让其他量尽量小；求最小值时让其他量尽量大。
均值不等式思想：两个正数的和一定时，两数越接近积越大（相等时积最大）；积一定时，两数越接近和越小。
常见模型：
① 和一定求积最大：a+b=S，则a×b在a=b=S/2时最大，最大值为S²/4。
② 周长一定求面积最大：长方形周长一定时，正方形面积最大。
③ 分配问题：n个正整数之和为S，求其中最大数的最小值 → 尽量平均分。
解题策略：先确定约束条件，再利用"尽量平均"或"尽量极端"的思路求最值。
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分析：周长一定，长+宽 = 24÷2 = 12厘米。和一定求积最大。
解题过程：
第一步：设长为a，宽为b，则 a+b = 12。
第二步：面积 = a×b。由均值不等式思想，和一定时两数越接近积越大。
第三步：当 a = b = 6 时（即围成正方形），面积最大。
第四步：最大面积 = 6×6 = 36（平方厘米）。
验证：若a=7,b=5，面积35 < 36；若a=8,b=4，面积32 < 36。确实正方形最大。
答：围成边长6厘米的正方形时面积最大，最大面积为36平方厘米。
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分析：拆数使乘积最大的规律：尽量拆成3，余数为1时把一个3+1改为2+2。
解题过程：
第一步：规律——不用1（因为1不增大乘积）；不用大于4的数（如5=2+3，2×3=6>5）；尽量多用3（因为3×3>2×2×2，即9>8）。
第二步：20 ÷ 3 = 6 余 2。
第三步：拆为 6个3 和 1个2：3+3+3+3+3+3+2 = 20。
第四步：最大乘积 = 3⁶ × 2 = 729 × 2 = 1458。
验证：若拆为5个3和1个5：3⁵×5=243×5=1215 < 1458。若拆为7个3减1：不行（21>20）。
答：拆为6个3和1个2，最大乘积为1458。
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综合竞赛真题精选 竞赛
竞赛题特点：综合性强，一道题可能涉及多个知识点的交叉运用；需要灵活运用各种数学思想方法。
常见竞赛题型：
① 计算题：巧算、裂项、定义新运算。
② 数论题：整除、余数、质因数分解的综合。
③ 几何题：组合图形面积、等积变换。
④ 应用题：行程、工程、浓度的综合变式。
⑤ 组合数学：计数、推理、最值。
解题策略：认真审题→寻找突破口→选择合适方法→规范书写→检验答案。
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分析：通项为 n(n+1) = n² + n，利用求和公式。
解题过程：
第一步：原式 = Σn(n+1)（n从1到19）= Σ(n²+n) = Σn² + Σn。
第二步：Σn（n从1到19）= 19×20/2 = 190。
第三步：Σn²（n从1到19）= 19×20×39/6 = 2470。
（公式：1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6）
第四步：原式 = 2470 + 190 = 2660。
另一种方法：利用公式 n(n+1) = [n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)] / 3（裂项）。
原式 = [19×20×21 - 0×1×2] / 3 = 7980/3 = 2660。
答：原式 = 2660。
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解题过程：
第一步：设十位数字为a，个位数字为b。则原数 = 10a+b，新数 = 10b+a。
第二步：条件一：a+b = 9。
第三步：条件二：(10b+a) - (10a+b) = 27，即 9b - 9a = 27，b - a = 3。
第四步：联立方程：a+b=9，b-a=3。两式相加：2b=12，b=6。a=9-6=3。
第五步：原数 = 36。验证：63-36=27 ✓，3+6=9 ✓。
答：原来的两位数是36。
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数学思维方法总结 提高
化归思想：把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题。例如：把不规则图形转化为规则图形求面积。
对应思想：建立量与量之间的一一对应关系。例如：分数应用题中"量率对应"。
数形结合：用图形帮助理解数量关系，或用数量关系解释图形特征。例如：用线段图分析行程问题。
分类讨论：当问题有多种可能情况时，逐一讨论再综合。例如：含绝对值的方程、不确定大小关系的比较。
逆向思维：从结果倒推条件，从结论出发寻找充分条件。例如：还原问题（倒推法）。
整体思想：不逐一求各部分，而是把某些量看作整体直接运算。例如：设总量为1的工程问题。
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分析：利用等量关系建立比例，化归为按比例分配问题。
解题过程：
第一步：由 甲×1/3 = 乙×1/5，得 甲/3 = 乙/5，即 甲:乙 = 3:5。
第二步：甲+乙 = 100，按3:5分配。
第三步：甲 = 100 × 3/(3+5) = 100 × 3/8 = 37.5。
第四步：乙 = 100 × 5/(3+5) = 100 × 5/8 = 62.5。
验证：37.5+62.5=100 ✓，37.5/3=12.5，62.5/5=12.5 ✓。
答：甲数为37.5，乙数为62.5。
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分析：从结果出发，逆序进行相反运算（倒推法）。
解题过程：
正向运算：原数 → ×3 → +12 → ÷2 → -5 → 16。
第一步（逆推）：最后一步是减5得16，之前是 16+5 = 21。
第二步：上一步是除以2得21，之前是 21×2 = 42。
第三步：上一步是加12得42，之前是 42-12 = 30。
第四步：第一步是乘以3得30，原数是 30÷3 = 10。
验证：10×3=30，30+12=42，42÷2=21，21-5=16 ✓。
答：原来的数是10。