和差问题 进阶
已知两个数的和与差，求这两个数，这类问题叫做和差问题。
核心公式（一定要记住）：
大数 =（和 + 差）÷ 2
小数 =（和 − 差）÷ 2
理解方法：把差「补上」或「去掉」，让两个数变得一样多，再平均分成 2 份。求出其中一个数后，另一个用「和」或「差」就能算出来。
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大数 =（100 + 20）÷ 2 = 120 ÷ 2 = 60
小数 =（100 − 20）÷ 2 = 80 ÷ 2 = 40
验算：60 + 40 = 100（和正确），60 − 40 = 20（差正确）。
答：这两个数分别是 60 和 40。
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把乙筐看作小数，甲筐看作大数。
甲筐（大数）=（90 + 10）÷ 2 = 100 ÷ 2 = 50（千克）
乙筐（小数）=（90 − 10）÷ 2 = 80 ÷ 2 = 40（千克）
验算：50 + 40 = 90，50 − 40 = 10，符合题意。
答：甲筐重 50 千克，乙筐重 40 千克。
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和倍问题 进阶
已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数，叫做和倍问题。
核心公式：小数 = 和 ÷（倍数 + 1），大数 = 小数 × 倍数（或 和 − 小数）。
思路：把小数看成 1 份，大数就是几份，和一共是「倍数 + 1」份，先求出 1 份（小数），再求大数。画线段图能帮助理解。
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把小数看成 1 份，大数就是 3 份，一共 1 + 3 = 4 份。
小数 = 72 ÷ 4 = 18
大数 = 18 × 3 = 54
验算：18 + 54 = 72，54 ÷ 18 = 3，符合题意。
答：小数是 18，大数是 54。
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以乙为标准（1 份），甲是 2 份，丙是 3 份，一共 1 + 2 + 3 = 6 份。
乙 = 120 ÷ 6 = 20
甲 = 20 × 2 = 40
丙 = 20 × 3 = 60
验算：20 + 40 + 60 = 120，符合题意。
答：甲是 40，乙是 20，丙是 60。
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差倍问题 进阶
已知两个数的差以及它们之间的倍数关系，求这两个数，叫做差倍问题。
核心公式：小数 = 差 ÷（倍数 − 1），大数 = 小数 × 倍数（或 小数 + 差）。
思路：大数比小数多出的部分，正好是「倍数 − 1」份，所以用差除以（倍数 − 1）就得到 1 份（小数）。
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大数比小数多 4 − 1 = 3 份，这 3 份正好是 36。
小数 = 36 ÷ 3 = 12
大数 = 12 × 4 = 48
验算：48 − 12 = 36，48 ÷ 12 = 4，符合题意。
答：小数是 12，大数是 48。
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哥哥比弟弟多 3 − 1 = 2 份，这 2 份是 24 本。
弟弟（小数）= 24 ÷ 2 = 12（本）
哥哥（大数）= 12 × 3 = 36（本）
验算：36 − 12 = 24，36 ÷ 12 = 3，符合题意。
答：哥哥有 36 本，弟弟有 12 本。
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鸡兔同笼 进阶
鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚。已知头的总数和脚的总数，求鸡和兔各有多少只。
假设法（最常用）：
① 假设全是鸡：兔 =（实际脚数 − 2 × 总头数）÷（4 − 2）；鸡 = 总头数 − 兔。
② 假设全是兔：鸡 =（4 × 总头数 − 实际脚数）÷（4 − 2）；兔 = 总头数 − 鸡。
道理：假设后算出的脚数与实际相差多少，是因为把兔当成了鸡（每只少算 2 只脚），相差的脚数里有几个 2，就有几只兔。
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假设 8 只全是鸡，应有脚 8 × 2 = 16（只）。
实际有 26 只脚，比假设多了 26 − 16 = 10（只）。
每把一只兔当成鸡就少算 4 − 2 = 2（只）脚。
兔 = 10 ÷ 2 = 5（只）
鸡 = 8 − 5 = 3（只）
验算：3 + 5 = 8（头），3×2 + 5×4 = 6 + 20 = 26（脚），正确。
答：鸡有 3 只，兔有 5 只。
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假设 12 只全是兔，应有脚 12 × 4 = 48（只）。
实际只有 32 只，比假设少了 48 − 32 = 16（只）。
每把一只鸡当成兔就多算 2 只脚。
鸡 = 16 ÷ 2 = 8（只）
兔 = 12 − 8 = 4（只）
验算：8 + 4 = 12，8×2 + 4×4 = 16 + 16 = 32，正确。
答：鸡有 8 只，兔有 4 只。
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植树问题 基础
植树问题研究「棵数」与「间隔数」之间的关系，关键看是否栽两端、是不是封闭图形。
① 两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1；
② 只栽一端：棵数 = 间隔数；
③ 环形（封闭图形，如圆形花坛）：棵数 = 间隔数。
其中：间隔数 = 总长 ÷ 每段长度（间距）。
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间隔数 = 100 ÷ 5 = 20（个）。
两端都栽，棵数 = 间隔数 + 1 = 20 + 1 = 21（棵）。
答：一共要栽 21 棵树。
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圆形是封闭图形，棵数 = 间隔数。
间隔数 = 60 ÷ 3 = 20（个）。
所以一共栽 20 棵。
答：一共栽 20 棵花。
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周期问题 进阶
事物按一定规律不断重复出现，就形成了「周期」。重复的一组叫做一个循环节。
解题步骤：① 找出循环节，确定周期长度；② 用总数 ÷ 周期，看商和余数；③ 余数是几，就是循环节里的第几个；如果余数为 0，则是循环节里的最后一个。
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循环节是「○△△□□□」，一个周期有 6 个图形。
50 ÷ 6 = 8（组）…… 2（个）。
余数是 2，对应循环节里的第 2 个图形，即 △。
答：第 50 个图形是 △。
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循环节「★○○★★○」共 6 个，每个周期里有 3 个 ★。
50 ÷ 6 = 8（组）…… 2（个）。
8 个完整周期里有 8 × 3 = 24（个）★。
余下的 2 个是「★○」，其中有 1 个 ★。
一共有 24 + 1 = 25（个）★。
答：前 50 个图形中一共有 25 个 ★。
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盈亏问题 提高
把一些物品平均分给若干人，第一次分有剩余（盈），第二次分不够（亏），通过两次分配的差异求人数和物品数，叫做盈亏问题。
核心公式：份数（人数）=（盈 + 亏）÷ 两次每份之差。
变形：两次都盈：份数 =（大盈 − 小盈）÷ 每份之差；两次都亏：份数 =（大亏 − 小亏）÷ 每份之差。
求出人数后，再代回任意一种分法即可求物品总数。
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第一次多 4 个（盈 4），第二次少 6 个（亏 6），每人多分了 8 − 6 = 2（个）。
小朋友人数 =（4 + 6）÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5（人）。
苹果数 = 6 × 5 + 4 = 30 + 4 = 34（个）。
验算：8 × 5 − 6 = 40 − 6 = 34，两种分法结果一致。
答：有 5 个小朋友，34 个苹果。
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两次都有剩余（都盈），用「大盈 − 小盈」。
每人多发 7 − 5 = 2（本），共多用掉 10 − 4 = 6（本）。
同学人数 =（10 − 4）÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3（人）。
练习本数 = 5 × 3 + 10 = 15 + 10 = 25（本）。
验算：7 × 3 + 4 = 21 + 4 = 25，正确。
答：有 3 名同学，25 本练习本。
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简单行程问题 进阶
行程问题三个基本量：速度、时间、路程，它们的关系是：
路程 = 速度 × 时间；速度 = 路程 ÷ 时间；时间 = 路程 ÷ 速度。
相遇问题：两人从两地相向而行，相遇时两人走的路程之和等于两地距离。公式：路程和 = 速度和 × 相遇时间。
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路程 = 速度 × 时间。
路程 = 60 × 4 = 240（千米）。
答：一共行了 240 千米。
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两人速度和 = 50 + 40 = 90（米/分）。
相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和 = 450 ÷ 90 = 5（分钟）。
验算：5 分钟甲走 250 米，乙走 200 米，共 450 米，正确。
答：5 分钟后两人相遇。
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长方形与正方形面积 基础
长方形面积 = 长 × 宽；正方形面积 = 边长 × 边长。
常用面积单位：平方厘米、平方分米、平方米。1 平方分米 = 100 平方厘米，1 平方米 = 100 平方分米。
组合图形：把不规则图形分割成几个长方形或正方形（分割法），或者补成一个大图形再减去多余部分（添补法），再求面积的和或差。
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长方形面积 = 长 × 宽。
面积 = 12 × 5 = 60（平方厘米）。
答：它的面积是 60 平方厘米。
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草地总面积 = 15 × 8 = 120（平方米）。
花坛面积 = 3 × 3 = 9（平方米）。
除花坛外的面积 = 120 − 9 = 111（平方米）。
答：草地上除花坛外的面积是 111 平方米。
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巧算与速算 进阶
巧算的关键是灵活运用运算定律，把数「凑整」：
① 乘法分配律：a×(b+c) = a×b + a×c，a×b + a×c = a×(b+c)；
② 乘法结合律：a×b×c = a×(b×c)，常把 25 与 4、125 与 8 凑在一起；
③ 等差数列求和：和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2。
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把 99 看成 100 − 1，用乘法分配律：
99 × 46 =（100 − 1）× 46 = 100×46 − 1×46 = 4600 − 46 = 4554。
答：99 × 46 = 4554。
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把 32 拆成 4 × 8，让 25 与 4、125 与 8 凑整：
25 × 32 × 125 = 25 ×（4 × 8）× 125 =（25 × 4）×（8 × 125）= 100 × 1000 = 100000。
答：25 × 32 × 125 = 100000。