行程问题（相遇与追及） 进阶
基本关系：路程 = 速度 × 时间。
相遇问题（相向而行）：路程和 = 速度和 × 相遇时间。两人共同走完两地之间的全程。
追及问题（同向而行）：路程差 = 速度差 × 追及时间。快的人比慢的人多走的那段距离，就是开始时两人之间的距离。
解题关键：先判断是相遇还是追及，再选对应的「速度和」或「速度差」。
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这是相遇问题，用「速度和」。
速度和 = 50 + 40 = 90（千米/时）。
相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和 = 360 ÷ 90 = 4（小时）。
验算：4 小时甲行 200 千米，乙行 160 千米，共 360 千米，正确。
答：4 小时后两车相遇。
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这是追及问题，用「速度差」。
小红先走的路程（路程差）= 4 × 2 = 8（千米）。
速度差 = 6 − 4 = 2（千米/时）。
追及时间 = 路程差 ÷ 速度差 = 8 ÷ 2 = 4（小时）。
答：小明 4 小时能追上小红。
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定义新运算 进阶
题目会用一个新符号（如 ※、△、☆、⊕）规定一种运算规则，我们要严格按照规则把数代入计算。
解题步骤：① 读懂新运算的定义（弄清每个位置代表什么）；② 把具体的数对应代入；③ 按四则运算顺序算出结果。
注意：新运算不一定满足交换律、结合律，代入时位置不能弄错；遇到带括号或嵌套的，要先算括号里、由内向外。
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按规则，把 a = 5、b = 8 代入：
5※8 = 3×5 + 2×8 = 15 + 16 = 31。
答：5※8 = 31。
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先算括号里的 3△4：
3△4 = 3×4 − 3 − 4 = 12 − 3 − 4 = 5。
再算 6△5：
6△5 = 6×5 − 6 − 5 = 30 − 6 − 5 = 19。
答：6△(3△4) = 19。
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整数裂项与拆分 提高
裂项是把每一项拆成两个数的差，使中间各项相互抵消，从而快速求和。
常用裂项公式：1/(n×(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)。
整数裂项（用于 1×2 + 2×3 + … + n×(n+1) 这类）：n×(n+1) = [n×(n+1)×(n+2) − (n−1)×n×(n+1)] ÷ 3，所以 1×2 + 2×3 + … + n×(n+1) = n×(n+1)×(n+2) ÷ 3。
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每一项裂开：1/(n×(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)。
原式 =（1 − 1/2）+（1/2 − 1/3）+（1/3 − 1/4）+ … +（1/9 − 1/10）。
中间的 1/2、1/3、…、1/9 全部抵消，只剩首尾：
原式 = 1 − 1/10 = 9/10。
答：结果是 9/10。
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用整数裂项公式：和 = n×(n+1)×(n+2) ÷ 3，这里 n = 9。
和 = 9 × 10 × 11 ÷ 3 = 990 ÷ 3 = 330。
答：结果是 330。
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三角形与平行四边形面积 进阶
三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2；平行四边形面积 = 底 × 高。
重要关系：等底等高的三角形面积相等；等底等高的三角形面积是对应平行四边形面积的一半。
同底（或等高）的三角形，面积比等于高（或底）的比。利用这些关系，可以在不知道具体高时比较或推算面积。
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三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 = 12 × 8 ÷ 2 = 48（平方厘米）。
等底等高的平行四边形面积 = 底 × 高 = 12 × 8 = 96（平方厘米），正好是三角形面积的 2 倍。
答：三角形面积 48 平方厘米，平行四边形面积 96 平方厘米。
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平行四边形面积 = 10 × 6 = 60（平方厘米）。
三角形面积也是 60 平方厘米，由 底 × 高 ÷ 2 = 60 得：
12 × 高 ÷ 2 = 60，即 6 × 高 = 60，高 = 60 ÷ 6 = 10（厘米）。
答：这个三角形的高是 10 厘米。
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平均数问题 基础
平均数 = 总数量 ÷ 总份数。求平均数关键是先求「总数」和「份数」。
移多补少：把多的部分匀给少的部分，使各部分相等，相等后的数就是平均数。
加权平均：不同组的人数（份数）不同时，平均数 =（各组数量×对应份数的总和）÷ 总份数，不能简单地把几个平均数相加再除以组数。
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两人共有 12 + 6 = 18（颗），平均每人 18 ÷ 2 = 9（颗）。
小明原来 12 颗，要变成 9 颗，需给出 12 − 9 = 3（颗）。
也可用「移多补少」：小明比小红多 12 − 6 = 6（颗），把多出的一半给小红，即 6 ÷ 2 = 3（颗）。
答：小明给小红 3 颗后两人一样多。
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男生身高总和 = 140 × 20 = 2800（厘米）。
女生身高总和 = 130 × 10 = 1300（厘米）。
全班总身高 = 2800 + 1300 = 4100（厘米），全班人数 = 20 + 10 = 30（人）。
全班平均身高 = 4100 ÷ 30 ≈ 136.7（厘米）。
答：全班平均身高约 136.7 厘米。
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年龄问题 进阶
年龄问题最重要的规律：两人的年龄差永远不变。无论过多少年，每人都长大相同的岁数，差始终一样。
而倍数关系会随时间变化：年龄差不变，但年龄和会每年增加 2 岁（两人各长 1 岁）。
解题思路：抓住「年龄差不变」，把不同时间的年龄关系转化到同一时刻，常和和差、和倍、差倍问题结合。
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父子年龄差 = 40 − 12 = 28（岁），这个差永远不变。
当爸爸年龄是儿子 5 倍时，把儿子年龄看作 1 份，爸爸是 5 份，差是 5 − 1 = 4 份。
那时儿子年龄 = 28 ÷ 4 = 7（岁）。
儿子现在 12 岁，所以是 12 − 7 = 5（年）前。
验算：5 年前爸爸 35 岁、儿子 7 岁，35 ÷ 7 = 5，正确。
答：5 年前爸爸的年龄是儿子的 5 倍。
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母女年龄差 = 36 − 12 = 24（岁），始终不变。
当妈妈年龄是女儿 2 倍时，差是 2 − 1 = 1 份，即 1 份 = 24 岁。
那时女儿年龄 = 24（岁）。
女儿现在 12 岁，所以是 24 − 12 = 12（年）后。
验算：12 年后妈妈 48 岁、女儿 24 岁，48 ÷ 24 = 2，正确。
答：12 年后妈妈的年龄是女儿的 2 倍。
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还原问题（逆推法） 进阶
还原问题是已知经过若干次运算后的结果，要求最初的数。解题用逆推法：从结果出发，倒着一步一步往回推。
关键是使用「逆运算」：原来是加的，倒推就减；原来是减的，倒推就加；原来是乘的，倒推就除；原来是除的，倒推就乘。
有多步操作时，要按相反的次序逐一还原，最后一步先还原。
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从结果 7 倒推，运算顺序反过来、用逆运算：
最后除以 4 得 7，之前是 7 × 4 = 28；
之前减去 6 得 28，再之前是 28 + 6 = 34；
之前乘以 2 得 34，再之前是 34 ÷ 2 = 17；
之前加上 8 得 17，原来的数是 17 − 8 = 9。
验算：(9+8)×2−6 = 34−6 = 28，28÷4 = 7，正确。
答：这个数原来是 9。
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从最后剩 15 吨倒推。
第二次运走剩下的一半后剩 15 吨，说明第二次运走前是 15 × 2 = 30（吨）。
第一次运走一半后剩 30 吨，说明原来是 30 × 2 = 60（吨）。
验算：60 运走一半剩 30，再运走一半剩 15，正确。
答：仓库原来有 60 吨货物。
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假设法与替换法 提高
假设法：先假设全部是其中一种量，算出与实际的差距，再根据「每替换一个产生的差距」调整。鸡兔同笼就是典型的假设法。
替换法：当两种量之间存在倍数或相等关系时，把一种量全部替换成另一种量，使问题变成只含一种量，从而求解。
思路：找到两种量的换算关系（如 1 个甲 = 几个乙），统一成同一种量再计算。
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假设 10 辆全是自行车，应有轮 10 × 2 = 20（个）。
实际有 28 个，多了 28 − 20 = 8（个）。
每把一辆小轿车当成自行车就少算 4 − 2 = 2（个）轮。
小轿车 = 8 ÷ 2 = 4（辆），自行车 = 10 − 4 = 6（辆）。
验算：6×2 + 4×4 = 12 + 16 = 28，正确。
答：自行车 6 辆，小轿车 4 辆。
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用替换法：1 个苹果 = 2 个梨，把 3 个苹果替换成梨：3 个苹果 = 6 个梨。
这样总共相当于 6 + 2 = 8（个）梨，共重 1000 克。
1 个梨 = 1000 ÷ 8 = 125（克）。
1 个苹果 = 125 × 2 = 250（克）。
验算：3×250 + 2×125 = 750 + 250 = 1000，正确。
答：一个苹果重 250 克，一个梨重 125 克。
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容斥原理初步 提高
容斥原理用来计算「至少属于其中一类」的总数，避免重复计算。
两个集合的公式：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
意思是：参加 A 的人数 + 参加 B 的人数，会把「两项都参加」的人多算一次，所以要减去两项都参加的人数。
常用变形：两项都参加 = A 的人数 + B 的人数 − 至少参加一项的人数。
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至少参加一个小组的人数 = 25 + 18 − 8 = 35（人）。
两个小组都没参加的人数 = 全班人数 − 至少参加一个的人数 = 45 − 35 = 10（人）。
答：两个小组都没有参加的有 10 人。
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至少会一样的人数 = 30 + 25 − 12 = 43（人）。
两样都不会的人数 = 50 − 43 = 7（人）。
答：两样都不会的有 7 人。
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最值问题初步 提高
最值问题研究在给定条件下，怎样安排才能使某个量最大或最小。
常用结论：① 和一定，差小积大——两个数的和固定时，两数越接近，它们的积越大；② 积一定，差小和小——两个数的积固定时，两数越接近，它们的和越小。
解题方法：列举比较、利用上述结论，或把数尽量「平均分」。
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长方形周长 24 厘米，所以 长 + 宽 = 24 ÷ 2 = 12（厘米）。
长与宽的和一定，根据「和一定，差小积大」，长和宽越接近，面积越大。
当长 = 宽 = 6 厘米（即围成正方形）时面积最大。
最大面积 = 6 × 6 = 36（平方厘米）。
答：围成边长 6 厘米的正方形时面积最大，是 36 平方厘米。
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积一定，根据「积一定，差小和小」，两数越接近和越小。
列举积为 36 的自然数对：1 和 36（和 37）、2 和 18（和 20）、3 和 12（和 15）、4 和 9（和 13）、6 和 6（和 12）。
其中 6 和 6 最接近，和最小，为 12。
答：这两个数都是 6，和最小是 12。